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五年级:数学竞赛中的“新数”

五年级)数学竞赛中的“新数”

彭林

  数学竞赛试题中,经常定义一些“新数”,这些“新数”一般都是整数,解答这类问题,就要利用数论中的一些基本知识和所定义的“新数”的性质。

例1 将自然数N接写在每一个自然数的右面,如果得到的新数都能被N整除,那么称N为“魔术数”,在小于130的自然数中,“魔术数”的个数是多少?

  分析与解 设a是“魔术数”,把a接写在任意一个自然数x右面得新数

  

x,10x都能被a整除,就是10应是a的倍数,则a只能是1,2,5,共3个。

  

a只能是10,20,

  

a<130,只有125,100,共2个。

  所以小于130的“魔术数”有9个。

例2 具有下列性质的自然数称为“玫瑰数”:

  (1)它能被3整除;

  (2)它的数码只限于1,2,3(1,2,3可以不全部用到)。

  问300000以内的不同的“玫瑰数”共多少个?

  分析与解 一位“玫瑰数”只有一个3。

  两位“玫瑰数”的求法:十位上任意写上1,2,3中任意一个,然后按十位上的数码除以3的余数配个位数,余数是0,个位写3;余数是,个位写2;余数是2,个位写1。

  所以两位“玫瑰数”有3个。

  三位“玫瑰数”的求法:百位上有3种添法,十位上有3种添法,然后按百位、十位数字之和除以3的余数配个位数,个位数只有一种添法。

  所以三位“玫瑰数”有(3×3=)32个。

  同理,四位、五位“玫瑰数”有33,34个。

  六位“玫瑰数”首位是1时,有34个,首位是2时,又有34个。

  所以300000以内的“玫瑰数”共有1+3+32+33+34+34+34=283个。

例3 定义:如果n个不同的自然数,对其中的任意两个数,这两个数的积能被这两个数的和整除,那么,称这组数是n个数的“祖冲之数组”。例如60,120,180这三个数就构成一个三个数的“祖冲之数组”。请写出一组四个数的“祖冲之数组”。

  分析与解 受例子的启示:可设这四个自然数是a,2a,3a,4a。由

应是3、4、5、7的倍数,所以

  a最小=3×4×5×7=420。符合要求的“祖冲之数组”是(420,840,1260,1680)。

  想想练练

  1.设某个n位自然数的n个数字是{1,2,3,……,n}的一个排列,如果它的前k个数字所组成的整数能被k整除,其中k=1,2,……,n,那么就称这个n位数是一个“好数”,问六位“好数”共多少个?

  2.如果一个自然数的每个质因数都至少是二重的(即每个质因数乘方次数都大于或等于2),那么这个自然数称为“漂亮数”,如果两个相邻的自然数都是“漂亮数”,那么称这两个数为“孪生漂亮数”,例如相邻的自然数8,9是一对“孪生漂亮数”。请你再找出两对“孪生漂亮数”来。

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