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数学、科学与哲学

提要:

  数学是一门有着广泛应用的基础科学,对社会生产和生活起到了重要的作用。一般来讲,数学经常作为工具出现;而事实上,数学是一个完整、严密的思想体系。研究数学体系的规律,对于新的数学发现是有着重要的作用的。本文浅显地分析了数学的特点、数学与科学的关系和数学与哲学思想之间的关系。



  数学是一门有着广泛应用的基础科学。它是各门科学,尤其是自然科学发展和进步的有力工具。对数学的研究有多个侧面,其中比较重要的是数学的工具性和数学作为思想体系的特征。

  正如“电子计算机之父”冯・诺意曼(von Neumann)所说的:“数学处于人类智能的中心区域”。数学的研究对于整个科学的发展都有着巨大的推动作用,同时,对数学作为思想体系研究的不断深入,也将促进人类认识思维的产生原因和作用方式。

  数学的历史和特点

  数学是产生较早的一门科学,最初的数学经历了长期的实践检验和丰富发展后才形成今天我们所见到的数学。最初的数学,是人类对自然现象一种经验性的描述,随后发展为一个逻辑严密的思想体系,而后又在各个方向开枝散叶,形成了庞大的数学体系。在数学不断发展的过程中,数学的许多特征也表现出来:数学的概念和方法具有很高的抽象性,数学的体系具有极强的逻辑严密性。这样两个基本的特征决定了数学应用的广泛性。

  数学的起源

  数学是一门研究空间形式和数量关系的科学,所以最初的数学概念就是“形”和“数”的概念。

  人们在长期的生产实践和生活实践中发现,事物之间是存在着区别的。一方面,它们的形态各不相同;另一方面,外在形态相同或相似的事物其多寡也不一样。所以经过实践和思考后,人们的头脑中产生了“形”和“数”的概念。

  这两个数学概念的产生,标志着人类认识水平的一次飞跃,因为这两个概念都是抽象性很强的概念。虽然事物的外在形态是可见的,但当点、线、面作为数学概念出现后,它们就已经脱离客观事物的外形而存在了。现实生活中我们找不到没有面积的点、没有宽度的线、没有厚度的面,就是因为它们已经成为了抽象的概念。而“数”的概念就更为抽象了。物体的颜色、温度、硬度等等都可以利用感知器官去感知;而物体数量的多寡却不能直接去感知,必须通过大脑的抽象加工才能够实现。“为了计数,不仅要有可以计数的对象,而且还要有一种在考察对象时撇开对象的其它一切特征而仅仅顾及到数目的能力”,这种能力,就是人类抽象思维的能力。

  “量”的概念的产生是有着十分重大的意义的:这是数学对整个科学体系的贡献。一门科学从定性描述进入了定量的分析和计算,是这门科学达到比较成熟阶段的标志。而实现定量分析的前提条件就是应用数学中“量”的概念及其有关定理。

  数学在其产生的过程中,就出现了抽象的概念。事实上,任何科学的产生都需要从自然界中抽象出一些概念,数学与其他自然科学不同的地方就在于数学概念的抽象深度和广度要高于其他科学。最初的抽象仅仅限于数学概念的抽象,在数学发展的过程中,又出现了数学方法的抽象。

  数学的发展

  数学从诞生的初期到蓬勃发展的今天,经历了一个由简单到复杂、由具体到抽象、由低级到高级、由现象到本质的过程。在这个过程中,数学从概念到方法都有了很大扩充。
初等数学时期(公元前6世纪至17世纪)

  最初的数学只能算是一种经验性的记录。它只有一些基本的概念和人们在长期的生产实践中认识到的基本的经验性规律,而并没有形成完整的数学体系。大约在公元前6世纪到公元前3世纪之间,经过毕达哥拉斯(Pythagoras)、柏拉图(Plato)、亚里士多德(Aristoteles)、欧几里德(Euclid)等一批哲学家、数学家的努力,零散的数学知识才组成了公理体系。这个体系以公理为基础,逻辑推导为手段;欧几里德《几何原本》的出版是数学史上最为重要的三个里程碑之一,它标志着数学开始了理性发展的历史。

  这个时期的数学,被称为“常量数学”,这个时期数学的主要成就是将零散的材料组织称为知识系统,人类已经初步掌握了算术、初等代数、初等几何、三角等知识。但在这个时期数学还停留在静止阶段,基本没有体现运动和变化的思想。

  近代数学时期(17世纪中期至19世纪末)

  17世纪是数学发展史上一个极为重要的世纪。17世纪以前,西方几何学的发展要明显领先于代数学,代数的问题往往转化为几何问题来解决,而笛卡尔(descartes)解析几何的诞生,却明显地显示了代数化的趋势。也正式由于解析几何的诞生,变量的概念开始进入数学。这直接决定了微积分的出现,虽然牛顿(Newton)与莱布尼兹(Leibniz)对微积分发明权的争论是科学史上不光彩的一页,但微积分的诞生是数学史上最为重要的三个里程碑之一。而概率论的出现则标志着研究非确定性现象的数学出现了。17世纪,对数概念被引入数学、坐标系和解析几何诞生、概率论的产生、数论研究的深入等等不一而足。可以说,17世纪数学史的转折点,标志着数学走出了它的童年时期,逐步成为一门高度抽象的科学。

  18世纪数学的中心人物是欧拉(Euler),一位人类有史以来最伟大的数学家。很难用简短的话语来概括欧拉在数学发展史上的作用及其影响,因为欧拉几乎涉及了他所能涉及到的所有数学领域,从几何学到数论、组合,他的研究甚至还涉及到了机械学、流体力学和光学。欧拉对数学最大的贡献在于他对数论的研究,欧拉通过证明费马(Fermat)小定理等等数论命题,极大地发展了数论。而且数学家在微积分的基础发展出无穷级数、常微分方程、偏微分方程以及变分法等学科,而此时的概率论也由组合概率发展到分析概率的阶段,可以说,18世纪是分析数学形成的世纪。

  19世纪是数学蓬勃发展的世纪。数学中三个最重要的分支――分析、几何、代数都有了长足的发展。数学分析方面,除了确立微积分的现代形式并科学定义“无穷小量”外,还建立了对以后有重要应用的复变函数论。在几何学方面,非欧几何的诞生预示了其后的数学将越来越脱离“物理实在性”。微积分的严密化使“消失量的幽灵”――无穷小量得以重见天日,而康托(Cantor)对无限基数的研究更标志着数学的抽象程度不断升高。

  17世纪到19世纪,人类社会生产力的发展超过了以往几千年的积累,而数学也有了质的飞跃,这个时期的数学,常常被称为“变量数学”。

  现代数学时期(19世纪末至今)

  20世纪更是一个值得载入史册的世纪。1900年,希尔伯特(Hilbert)提出了著名的23问题 ,指明了数学发展的方向。“形式主义”、“逻辑主义”、“直觉主义”关于数学基础的大讨论更体现了人们对数学本身的认识水平在不断提高。希尔伯特的《几何基础》可以称为数学史上第三个具有重要意义的里程碑。虽然哥德尔(Gödel)不完全性定理打破了人类希望创造完美数学的美梦,但也为数学的发展起到了极大的推动作用。电子计算机的出现是本世纪最重要的科技成果之一,而电子计算机与数学的结合更显示了无穷的威力,“四色问题”的证明就得益于电子计算机强大的运算功能。

  现代数学的几个显著特点是:

  纯数学更加抽象,分支增多而又互相渗透。
  现代数学以集合论为基础,以结构为对象。
  重视数学基础和数学哲学问题的深入研究。
  数学公理化是数学家追求的重要目标之一。
  新的分支大量产生,研究更为深入、广泛。
  电子计算机的产生与发展改变着数学的历史。

  数学的特点

  数学的基本特征

  数学在其长期的发展过程中形成了两个最基本的特点:抽象性和逻辑严密性。正是这两个特点决定了数学今天的应用和发展。

  数学概念和方法的抽象性是数学最基本的特征。数学概念的产生都是一个抽象的过程,而数学方法的诞生,则需要更高的抽象性。变量被引入数学就是一个很好的例子,利用字母表示一个变量,标志着数学方法的一次重要的抽象过程。

  数学逻辑的严密性也决定了数学的应用范围十分广泛。数学的体系就是一个以公理为基础,逻辑推导为工具的理论体系。整个体系环环相扣,互相关联,推翻其中任何一个结论,就代表否认整个理论体系。只能说明或是数学的基础理论――公理出现了问题,或是逻辑的方法出现了问题。非欧几何就是在否认欧氏几何平行公理的基础上诞生的。当然,现在我们发现二者在逻辑上是等价的,这样就可以认为二者的根本分歧出现在对自然界的认识角度上。虽然非欧几何与我们的直观感觉格格不入,但是它在逻辑上是完全正确的,这也从一个侧面印证了数学的高度抽象性。

  数学的高度抽象性和逻辑严密性决定了数学中定理的标准与其他科学是不同的。数学中的定理必须是公理的推论,如果否定了任何一条定理,就等于否定了其所依赖的公理基础。而在其它的一些学科中,定律是直接从观察和实验中得到的,而这些结果只要与以前的知识不相冲突,并可以在有限的经验范围内得到印证,就可以成为定律而得到人们的认可。在这些领域中,定律和猜想之间的界限就不十分明显了。

  数学应用的广泛性

  数学的应用范围十分宽广,涉及到社会生产生活的各个方面。华罗庚先生曾经写到:“宇宙之大、粒子之微、火箭之速、化工之巧、地球之变、生物之谜、日用之繁,无不应用数学。”正如华老所言,数学在科学中许多领域都有十分广泛的应用,这是有数学高度的抽象性和逻辑的严密性所决定的。这是由数学高度的抽象性和逻辑的严密性决定的。

  一门科学的抽象程度愈高,它应用的范围也就愈广。数学在诸多自然科学中具有较高的抽象性,所以数学作为其他学科的工具出现是必然的。

  任何一门科学,必须要正确并且精确地反映所研究的客观事实,即不能漏洞百出又不能自相矛盾。由此看来,形式逻辑是必须的;而数学是一门高度应用形式逻辑的科学,所以数学应用其它科学也是必然的。爱因斯坦(Einstein)曾对数学逻辑的严密性有如下的论述:“为什么数学比其它一些科学受到特殊的尊重,一个理由是它的命题是绝对可靠的和无可争辩的,而且不像其他科学的命题经常处于会被新发现的事实推翻的危险境地之中……数学之所以有高声誉,还有另一个理由,那就是数学给予精密自然科学以某种程度的可靠性,没有数学,这些科学是达不到这样的可靠性的。”

  数学的应用范围非常广泛,而且也有着十分重大的现实意义。正如马克思所说:一门科学只有当它达到了能够成功应用数学时,才算真正发展了。
数学发展的动力

  数学的发展是由客观和主观两方面的因素共同决定的。数学发展外部动力就是社会的需要。随着生产力的不断发展,人类对自然的认识不断加深,而各门自然科学也有了不同程度的进步。由于数学广泛地应用于各门基础学科,所以其它学科的不断发展就需要有新的数学理论的方法作为工具。比如微积分的发明就是由于物理学研究的需要。

  但数学发展的根本动力是数学的内在矛盾。如果数学本身不具备发展所需要的条件,那么无论各种科学怎样地需要数学,它都不会发展下去的。而且数学的内部矛盾也决定了数学理论的超前性。众所周知,非欧几何在诞生的初期没有得到足够的重视,人们认为它没有任何实用价值,充其量只能算是一种思维游戏。但是几百年后,当爱因斯坦解决相对论问题时发现非欧几何正是他所需要的最有力的工具。

  正是因为数学中广泛地存在着有限与无限、微分与积分、常量与变量、具体与抽象之间的矛盾,所以数学才能够不断地向前发展。一方面,如果社会生产需要,数学可以发展出新的理论和方法,前提是存在着数学能够不断发展的内部条件――矛盾;另一方面,即使社会生产没有产生需要,数学也会按照其自身的发展规律不断地发展。

  数学的发展是内因与外因共同作用的结果,但数学家在数学发展中的作用也是不可忽视的。他们长期从事数学研究,发明新的数学理论和方法――严格来讲,数学家的工作中只有一半是发明,而另一半是发现;他们只是发明了新的数学方法,而数学中的定理事实上在公理和相应的逻辑方法被确定后就是客观存在的了。虽然数学本身的发展不依赖于数学家的工作,但是人类了解数学知识的多少却直接与数学家的工作有关。

  数学的真理性

  数学之中的定理都是以公理为基础,通过逻辑推导的手段得到的,所以在公理体系内,它是决定真理。如果否定了这些定理,就只能说明两个问题:或是否定了公理基础,或是否定了逻辑方法。但是数学的真理性又是相对的。如果将定理应用于它所适用的公理范围之外,那么它就是错误的了。

  希尔伯特在研究数学基础的时候提出了“形式主义”的观点。他认为,可以将数学变为一种纯符号的形式体系,然后证明该体系的相容性(即无矛盾性),从而解决数学基础的问题。但是哥德尔在1931年证明的哥德尔不完全性定理表明:任何一种公理体系,当它足够复杂时,其中必定有一些应用该公理系统中任何定理都无法证明的命题。比如康托的连续统的不可数性问题就无法在ZF公理体系中判断其真伪。虽然哥德尔不完全性定理证明了数学中某些命题是不可证明的,但是这丝毫不妨碍我们已经证明的定理的真理性和可靠性。

  事实上,数学中的公理是人们长期生产实践和生活实践经验的概括总结,它具有一定的经验性,但人类的思维方法(逻辑)也具有一定的经验性。所有科学都是建立在一定的理论基础之上的,而且在发展的过程中也都不可避免地应用了逻辑的方法。数学的公理基础与其它科学的公理基础相比,更具理想性,也就是说,数学的公理都是叙述简单、能够得到普遍认可的高度抽象的命题;而数学的演绎方法与其它科学相比,其应用逻辑的程度更深,所以数学的体系比其它科学体系更为严谨。

  数学发展的历史,就是人类对自身思维方式的探索过程,它从一个侧面反应了人类对自然、逻辑的认识不断深入的过程。当今的数学发展趋势更是多元化,一方面数学有着广泛的应用前景,另一方面,对数学理论的研究也是有着重大的现实意义的。
数学与科学

  数学在科学分类中的位置一直是一个有争议的问题。在最初的分类中,数学是作为自然科学出现的,而且这种分类方法现在也占主流。而另外一种观点认为,数学处于自然科学和社会科学中间的位置,这种观点出现得比较晚,而且还没有得到公认,但是这种观点却越来越被人们所接受。

  事实上,问题的结症在于数学的作用。如果认为数学是其他科学的工具,那么应当将数学作为自然科学的一部分;如果认为数学是一种思想体系,那么可以将数学归入社会科学,或者说是人文科学一类。而数学在两方面的作用都是十分重要的,所以数学应当既属于社会科学又属于自然科学。

  另外一种观点认为,数学是科学的语言,可以利用数学来描述科学所研究的内容。这就不是简单地将数学归入自然科学或社会科学的问题了,因为作为语言出现的数学是不能分类的。

  数学与哲学

  数学在自然科学中的作用,就像哲学在整个科学体系中的作用一样――研究整个世界,得出普遍规律。哲学是对具体科学的概括、总结,并指导各个科学。而数学也是总结自然解普遍存在的空间形式和数量关系,从而指导自然科学的发展。

  数学体现了丰富的哲学观点

  数学中体现了许多唯物主义的观点,而且随着认识水平的不断体提高,这种关系也愈发明显。

  唯物辩证法认为,“不论是简单的运动形式,或复杂的运动形式,不论是客观现象,或思想现象,矛盾是普遍地存在着,矛盾存在与一切过程中”。所以不论是数学本身还是数学与其它科学之间都是有着普遍地联系的,这里就不再赘言了。

  唯物辩证法与形而上学最根本的区别就在于唯物辩证法是以联系的、发展的、全面的观点看问题,而形而上学则采用孤立的、静止的、片面的观点看问题。数学要发展,就必须采用唯物辩证法的观点去解决数学问题,这在数学的发展史上是得到了证明的。著名的数学家拉格朗日曾指出:“只要代数同几何分道扬镳,它们的进展就缓慢,它们的应用就狭窄,但是当这两们科学结合成伴侣是,它们就互相吸取新鲜的活力,从那以后,就以快速的步伐走向完善。”确实,如果将“数”与“形”之间的关系以孤立、静止、片面的观点去看,那么数学就不可能有如此长足的发展。

  数学体现了唯物辩证法的观点,同时也体现了唯物主义认识论的观点。人的认识是直接或间接从实践中得到的,而感性认识又经过人脑的抽象后上升到理性认识,此后再指导实践。如此往复,人类的认识水平才不断提高。而数学的发展过程也体现了这一观点。数学直接或间接地从实践中提取出数学概念和方法,经过加工整理后指导各个自然科学,从而间接地指导实践。

  数学中体现了丰富的辩证唯物主义观点,一方面说明了数学是辩证的,另一方面也从一个侧面反应了唯物主义的正确性。

  数学与哲学的结合并不总是正确的

  数学有着高度的抽象性,从它的公理基础到定理推论都是经过人类加工抽象的结果。如果将数学中的“数”作为万物的本源就是犯了唯心主义的错误。“数”本身是一个抽象概念,仅仅是物质具体形态的一个属性,本身并不具有物质性,如果将“数”作为实际上就是将一个抽象的概念(意识)作为本源了。

  数学所需要的形式逻辑,但并不是形而上学。很多人认为形式逻辑就是形而上学,这一点也是不正确的。形式逻辑与形而上学有着本质的区别,形式逻辑从形式结构方面研究概念、判断和思维,它揭示了人类在思维过程中的一种必然规律,而不是静止不变地看待问题。看待数学问题,尤其是从总体上去把握数学的时候,应当采用辩证唯物主义的观点,而不能仅仅被表面现象所迷惑而不去发掘数学的本质属性。

  以上从六个方面谈了有关数学的一些粗浅内容。前面四个部分主要是数学,而后面的两个部分则是关于数学与科学、数学与哲学的内容。

  数学有着极强的抽象性和严密性,所以它能够广泛地渗透到科学的各个领域。而在研究数学知识的同时,数学的本身也随之变成了研究的对象。不论数学是否是科学,是否是自然科学,它的作用都是不可忽视的。数学是人类智慧的象征,它充分体现了辩证唯物主义的思想。

  只有学习了数学,才能学习科学;只有发展了数学,才能发展科学。

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