原题: Candy Sharing.
译自: The Amer. Math. Monthly, Vol.110(2003), No.1, p.25--35.
/sec{1. 介 / / 绍}
在他们奇妙的书中,常庚哲和Thomas Sederberg提到了1962年北京数学奥林匹克竞赛中的以下问题:
{/kaishu{一些学生坐成一圈,他们的老师给他们分糖果.开始时,每位学生都有偶数粒糖果.每当他们的老师吹一下哨子,每位学生同时把他(她)的一半糖果分给右边相邻的同学.当每次分配结束时,任何一位学生如果只有奇数粒糖果,他可以从老师那里得到额外的一粒糖果.
证明,无论每位学生在开始时有多少糖果,在重复有限次这样的交换后,可以使
所有的学生都有同样多的糖果.}}
这个问题最近被重新提出来,作为一种激发数学兴趣的活动,供各年龄段的学生
以及数学天才探讨(见[1], [4]和[5]).它有一个极好的解:
设$M/in{/Bbb {N}}$是在糖
果初始分布中学生拥有的最大的糖果数.在重分配过程中,拥有这么多糖果的学
生分了$M/2$粒糖果给他右边相邻的同学,同时从左边收到不多于这个数的糖
果.结果,他最终拥有不多于$M$粒糖果.只有当他在重分配后有奇数粒糖果时,
他才能得到额外的一粒糖果.但因为$M$是偶数,不可能出现他有$M+1$粒糖果的
结果.这样,学生中每个学生拥有的糖果数始终不超过$M$.
现在考虑那些有最少糖果的人.设$m/in {/Bbb {N}}$为这个最小的糖果数.
在重分配时,这个人将分$m/2$粒给他右边相邻的人,同时从他的左边收到至
少$m/2$粒糖果.只有当他左边的人有同样少的糖果时,他拥有的糖果数才不
会增加.这样一来,如果有$k$个人坐成一排,每个人都有$m$粒糖果,在一次重
分配后,前$k-1$个人仍有$m$粒糖果,但第$k$个人将有较多的糖果(除非
{/kaishu{每个人}}都有$m$粒糖果,在此情形分配已经稳定).因此,每次重分配之
后,有最少糖果的人的数目在减少.因为每个人拥有的糖果数存在上界,这个事
实使得形势稳定下来.
我们能否预先估计需要多少次反复分配才能使分糖果游戏稳定下来,同时它取
怎样的稳定值?这些问题仍然是公开的.各种年龄的学生热衷于探究这些问
题,比如试验不同糖果的初始分配数,把结果制表,从中搜寻可理解的模型.
糖果游戏有许多变形.比如,不是加糖果,而是学生{/kaishu{吃掉}}奇数粒糖果使他拥有
的糖果数{/kaishu{减少}}到某个偶数,那么会发生什么情况?或者,如果每位学生分掉
他所有的糖果,比如一半给左边,另一半给右边,又会发生什么情况?
最近,麻萨诸塞州东汉普顿市北汉普顿威洛比中学的Alan Lipp提出了以下
问题:假设Angelica在游戏开始时有12粒糖果,在每一次口哨吹响时,把她的
糖果的$1/3$给她右边的邻居Beatrice.在接受了她左边邻居给的糖果后,
Angelica向上进到下一个3的倍数.在另一方面,Beatrice在每一轮考虑5的
倍数,把她$2/5$的糖果给她右边的邻居,而且总把她的糖果向上进到下一
个5的倍数.每个学生以同样的方式操作,用自己固定的一个数,以及以这个数
为分母的固定分数.
下面的表显示了一个5个玩家A, B, C, D和E的糖果游戏.游戏的``状态''在5
轮后固定下来.Alan Lipp和他的学生发现这些推广的糖果游戏好像总是要稳
定下来,只要有至少一个玩家用不同于1的分数操作,同时没有人以分数0操作.
全文见 数学译林