题: The Smith College Diploma Problem.
译自: The Amer. Math. Monthly, Vol. 108 (2001), p. 55--57.
{/kaishu 在史密斯学院，传统的毕业典礼是这样进行的：虽然每一份毕业证书都是为一名特定的女生
制作的，但是所有的证书一开始用随机的方式发出.然后那些没有领到自己证书的所有女生
围成一个圆圈，每个人把自己持有的证书交给她右边的女生.现在那些拿到自己证书的女
生就离开圆圈，留下的女生再把她们的证书传给她们右边的女生，如此继续.这一程序反
复进行，直到每一名女生都持有自己的毕业证书为止.如果在毕业班里有$n$名女生，在每一
名女生都持有自己的毕业证书以前，恰好需要传$k$次的概率是多大？}
[5]中所发表的解，利用递推公式，归纳地证明了$n!$种分配证书的方法中需要传$k$次的方法数由公式
$$
/sum_{r = 0}^{k} {/left( { - 1} /right)^{r}/left(
{{/matrix
{n + 1}/
{r} /
/endmatrix} } /right)/left( {k + 1 - r} /right)^{n}} /eqno(1)
$$
给出.正如编辑部为West的解答所作的注记中指出的，由这一公式所给出的数就是熟知的{/kaishu 欧拉数}；用最常用的记号，(1)
式就等于$A_{n,k + 1}
$.欧拉数有好几种组合解释，我们将讨论其中的三种，并且我们将特别把传送的方法数直接同其中的一种联系起来：$A_{n,k
+ 1} $是$/left/{ {1,2, /cdots ,n} /right/}$的所有置换$/pi $
中恰有$k$次{/kaishu 严格右移}，即恰有$k$个$i$满足$i < /pi /left( {i}
/right)$的置换个数.
全文见 数学译林