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六年级:“和差问题”的作用

郜舒竹

  问题:图上正方形ABCD是一条环形公路,已知汽车在每条边上行驶的速度分别为每小时:AB边上90千米、BC边上120千米、CD边上60千米、DA边上80千米。现从CD边上一点P同时反向出发两辆汽车,它们在AB边上中点相遇;如果从PC中点M同时反向出发两辆汽车,则它们在AB边上的N点相遇。已知AN之间的距离是10千米,求这个环形公路的总长度。

  本题的关键显然是求出AN与NB与正方形边长之间的关系,为此,先要求出DM与MC距离之间的关系,这可以通过DP与PC距离之间的关系求出。

  如果设正方形的边长为单位1,那么两辆汽车在DC边上行驶的总时间为DP边上行驶所用时间多出来的部分,就是在AD边上行驶所用时间比在BC边上行驶所用时间多出来的部分,也就是:

  现在根据“和差问题”的计算公式:

  大数=(和+差)÷2 小数=(和-差)÷2

  就可以求出在DP边上所用时间为:

 

  在PC边上所用时间为:

  所以DP与PC的距离之比为

 

  

 

  MA上行驶所用时间为

  二者相差的时间为

  这个相差的时间就是AN与NB上行驶相差的时间,而AB边上行驶的总时

  AN与NB行驶所用时间分别为

 

  方形的边长为

  这个环形公路的总长度为

  320×4=1280(千米)

  至此,本题全部解决了。解题过程中两次利用了“和差问题”这一基本类型。学习数学特别强调对基本内容的理解和掌握,原因就是许多复杂问题的解决依赖于对基本内容掌握的程度。希望同学们一定要重视“基本”。下面再来解决一个问题。

  问题 下面的方格中填上加号或减号,使得算式的结果等于23。

  9□8□7□6□5□4□3□2□1=23

  首先不难发现所有出现的数字总和为45。如果把所有前边为加号的数字归为一组,前边为减号的数字归为一组,这两组数字之和的差就是23。根据“和差问题”的公式,前边为加号的一组数字之和为

  (45+23)÷2 =34

  前边为减号的一组数字之和为

  (45-23)÷2=11

  现在只要挑选出哪些数字的和是11就可以知道哪些数字前边填减号,自然就可以知道哪些数字前边填加号了。数字和为11的情况有:

  8+3=11   8+2+1=11

  7+4=11   7+3+1=11

  6+5=11   6+4+1=11

  6+3+2=11  5+3+2+1=11

  5+4+2=11

  相应的填法就有

  9-8+7+6+5+4-3+2+1=23

  9-8+7+6+5+4+3-2-1=23

  9+8-7+6+5-4+3+2+1=23

  9+8-7+6+5+4+3-2-1=23

  9+8+7-6-5+4+3+2+1=23

  9+8+7-6+5-4+3+2-1=23

  9+8+7-6+5+4-3-2+1=23

  9+8+7+6-5+4-3-2-1=23

  9+8+7+6-5-4+3-2+1=23

  本题的解法能够做到将所有的情况列举出来,而如果直接试验,可能会丢掉一些情况。

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