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五年级:数学回文

彭林

  一提到李白,人们都知道这是我国唐代的大诗人。如果把“李白”两个字颠倒一下,变成“白李”,这也可以是一个人的名字,此人姓白名李。像这样,正着念、反着念都有意义的词语叫做回文。

  文学史上,有许多与回文有关的故事。

  清代,北京有个酒楼叫“天然居”。一次,乾隆皇帝触景生情,以酒楼为题写对联,上联是:

  客上天然居,居然天上客。

  但是,这位博学多才的皇帝苦苦思索,却写不出下联。因为下联的后五个字,必须是前五个字的颠倒,又要语意通顺,还要平仄协调,的确是很难的事。直到很久以后,才有位读书人给出了下联:

  僧游云隐寺,寺隐云游僧。

  与此类似,数学里也有“回文式”。

  我们借用上面的对联组成这样一个式子:

  僧游×云隐寺=寺隐云×游僧

  现在要问:不同的汉字用不同的数字(09)代替,这个算式能成立吗?能,而且不止一个:

  12×231=132×2112×462=264×21

  13×341=143×3113×682=286×31

  ……

  我们看到,这类等式不仅外形整齐、对称,“内部构造”也很巧妙:每个等式中两位数的十位数字和三位数的百位数字的乘积,正好等于两位数的个位数字和三位数的个位数字的乘积;等式中三位数的十位数字恰好等于个位数字和百位数字的和。例如,在12×231=132×12中,1×2=2×1,且3=2+1;在12×693=396×21中,1×6=2×3,且9=6+3等。

  掌握了这两个特点,就容易写出这类等式了,并且容易看出,关键是找出满足第一个特点的四个数字,从而三位数的十位数字也就确定了。例如,3×6=9×2,这时三位数的十位数字

  39×682=286×93

  当然,也可以由9×2=3×6,又2+6=8,得

  93×286=682×39

  这两种形式反映了同样四个数之间的关系,可以看作是一个等式的两种形式。

  那么这类等式共有多少个呢?

  我们可以从1开始,依次取23,……,9进行组合,然后再从2开始,依次取34,……,9进行组合,……看能组合成多少不完全相同的4个数字的乘积,并且第2、第4个数字的和不大于9,就能有多少个不同的等式。

  1×2=2×1,又2+1=3,于是有

  12×231=132×21

  1×3=3×1,又3+1=4,于是有

  13×341=143×31

  1×4=4×1,又4+1=5,于是有

  14×451=154×41

  1×4=2×2,又4+2=6,于是有

  12×462=264×21

  依此类推,共可得到33个不同等式。

  数学里还有“回文数”,其特征是:从左到右读与从右到左读完全一样,例如,101321239999等等。

  两个相同位数的回文数,如果各位相加时能够“就地消化”,不发生进位情况,那么其和仍是一个回文数。同样,在两个回文数相减时(规定要用大数减小数),如果需要从上一位“借”,则其差也是一个回文数。例如:

  有趣的是,某些回文数在相加时即使要发生“进位”,但其和数却依然是个回文数。例如: 

  

  而且ab应满足关系式a+b=11,以及1ab10

  假如你遇到一个不是回文数的普通数,怎样才能使它“变”成回文数呢?办法很简单,只要把这个数加上它的逆序数就行了,这称为一次“操作”(或“变换”),把这种“操作”反复进行下去,到头来你就可以得出一个回文数。

  这就是有名的“回文数猜想”。它至今仍然是个谜:说它正确,却无法证明;说它不正确,又找不出一个反例。

  可能成为说明“回文数猜想”不成立的反例是196,因为有人用电子计算机对这个数进行了几十万步计算,仍然没有出现回文数,但是却没有人能证明这个数永远产生不了回文数。

  数学家还对“回文质数”进行了大量研究,发现了另外一些“谜”。

  101131353919,这些自然数既是回文数,又是质数,叫做“回文质数”。

  第一个谜是:回文质数有无穷多个吗?数学家猜想它有无穷多个,但也仅仅是猜想。

  1811913733833010330203等等,它们都是回文质数,并且每一对中间的数字是连续的,而其它数字都是相同的,这样的两个数叫做“回文质数对”。

  第二个谜是:回文质数对有无穷多个吗?至今也没有解决。

  数学家还发现,在回文数中,平方数是非常多的,例如,121=11212321=11121234321=11112,……,12345678987654321=1111111112

  立方数也有类似情况。例如,1331=1131367631=1113

想想练练

  1.试找出10个回文算式。

  2.任取三个自然数,验证“回文数猜想”。

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