彭林
一提到李白，人们都知道这是我国唐代的大诗人。如果把“李白”两个字颠倒一下，变成“白李”，这也可以是一个人的名字，此人姓白名李。像这样，正着念、反着念都有意义的词语叫做回文。
文学史上，有许多与回文有关的故事。
清代，北京有个酒楼叫“天然居”。一次，乾隆皇帝触景生情，以酒楼为题写对联，上联是：
客上天然居，居然天上客。
但是，这位博学多才的皇帝苦苦思索，却写不出下联。因为下联的后五个字，必须是前五个字的颠倒，又要语意通顺，还要平仄协调，的确是很难的事。直到很久以后，才有位读书人给出了下联：
僧游云隐寺，寺隐云游僧。
与此类似，数学里也有“回文式”。
我们借用上面的对联组成这样一个式子：
僧游×云隐寺=寺隐云×游僧
现在要问：不同的汉字用不同的数字（0～9）代替，这个算式能成立吗？能，而且不止一个：
12×231=132×21，12×462=264×21，
13×341=143×31，13×682=286×31，
……
我们看到，这类等式不仅外形整齐、对称，“内部构造”也很巧妙：每个等式中两位数的十位数字和三位数的百位数字的乘积，正好等于两位数的个位数字和三位数的个位数字的乘积；等式中三位数的十位数字恰好等于个位数字和百位数字的和。例如，在12×231=132×12中，1×2=2×1，且3=2+1；在12×693=396×21中，1×6=2×3，且9=6+3等。
掌握了这两个特点，就容易写出这类等式了，并且容易看出，关键是找出满足第一个特点的四个数字，从而三位数的十位数字也就确定了。例如，3×6=9×2，这时三位数的十位数字
39×682=286×93。
当然，也可以由9×2=3×6，又2+6=8，得
93×286=682×39。
这两种形式反映了同样四个数之间的关系，可以看作是一个等式的两种形式。
那么这类等式共有多少个呢？
我们可以从1开始，依次取2，3，……，9进行组合，然后再从2开始，依次取3，4，……，9进行组合，……看能组合成多少不完全相同的4个数字的乘积，并且第2、第4个数字的和不大于9，就能有多少个不同的等式。
1×2=2×1，又2+1=3，于是有
12×231=132×21；
1×3=3×1，又3+1=4，于是有
13×341=143×31；
1×4=4×1，又4+1=5，于是有
14×451=154×41；
1×4=2×2，又4+2=6，于是有
12×462=264×21；
依此类推，共可得到33个不同等式。
数学里还有“回文数”，其特征是：从左到右读与从右到左读完全一样，例如，101，32123，9999等等。
两个相同位数的回文数，如果各位相加时能够“就地消化”，不发生进位情况，那么其和仍是一个回文数。同样，在两个回文数相减时（规定要用大数减小数），如果需要从上一位“借”，则其差也是一个回文数。例如：
有趣的是，某些回文数在相加时即使要发生“进位”，但其和数却依然是个回文数。例如：
而且a与b应满足关系式a+b=11，以及1＜a，b＜10。
假如你遇到一个不是回文数的普通数，怎样才能使它“变”成回文数呢？办法很简单，只要把这个数加上它的逆序数就行了，这称为一次“操作”（或“变换”），把这种“操作”反复进行下去，到头来你就可以得出一个回文数。
这就是有名的“回文数猜想”。它至今仍然是个谜：说它正确，却无法证明；说它不正确，又找不出一个反例。
可能成为说明“回文数猜想”不成立的反例是196，因为有人用电子计算机对这个数进行了几十万步计算，仍然没有出现回文数，但是却没有人能证明这个数永远产生不了回文数。
数学家还对“回文质数”进行了大量研究，发现了另外一些“谜”。
101，131，353，919，这些自然数既是回文数，又是质数，叫做“回文质数”。
第一个谜是：回文质数有无穷多个吗？数学家猜想它有无穷多个，但也仅仅是猜想。
181和191，373和383，30103和30203等等，它们都是回文质数，并且每一对中间的数字是连续的，而其它数字都是相同的，这样的两个数叫做“回文质数对”。
第二个谜是：回文质数对有无穷多个吗？至今也没有解决。
数学家还发现，在回文数中，平方数是非常多的，例如，121=112，12321=1112，1234321=11112，……，12345678987654321=1111111112。
立方数也有类似情况。例如，1331=113，1367631=1113。
想想练练
1．试找出10个回文算式。
2．任取三个自然数，验证“回文数猜想”。