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五年级:竞技场上的数学问题

彭林

  多姿多彩的体育比赛把许多小朋友吸引到了竞技场上,可是,你知道吗,在竞技场上也同样有许多有趣的数学问题。

  例1 A、B、C、D、E五人参加乒乓球比赛,每两个人都要赛一盘,并且只赛一盘,规定胜者得2分,负者不得分,已知比赛结果如下:

  (1)A与E并列第一名;

  (2)B是第三名;

  (3)C和D并列第四名;

  求B的得分。

  分析 共五名选手参加乒乓球比赛,每人都要赛4场,每场比赛不是得2分,就是得0分,所以每名选手的总分一定是0、2、4、6、8五数之一,四场都负得0分,四场都胜得8分,因此,B的得分比0分多,比8分少(他不是第一,也不是第四),只可能是2、4、6三数之一。同时不要忘记“两个并列第一,两个并列第四”这两个重要条件。

  解 因为五个人一共比赛(4×5÷2=)10(场)。

  所以十场球一共得分(2×10=)20(分)。

  有两个并列第一,两个并列第四,决定了没有全胜的,也没有全败的,也就是没有得8分的,也没有得0分的,只有2分、4分、6分三种得分情况。因此,并列第一的一共得(6×2=)12(分)。

  并列第四的一共得2×2=4(分),

  第三名得 20-(12+4)= 4(分)。

  所以,B得4分。

  例2 在一次射击练习中,甲、乙、丙三位战士各打了四发子弹,全部中靶,其命中情况如下:

  (1)每人四发子弹所命中的环数各不相同;

  (2)每人四发子弹所命中的总环数均为17环;

  (3)乙有两发命中的环数分别与甲其中两发一样,乙另两发命中的环数与丙其中两发一样;

  (4)甲与丙只有一发环数相同;

  (5)每人每发子弹的最好成绩不超过7环。

  问甲与丙命中的相同环数是几?

  分析 条件这样多,一下子满足所有的条件有困难,我们把条件归类,逐条逐步去满足。

  首先,我们找出符合条件(1)、(2)、(5)的所有情况:

  其次,再从这些情况中去掉不符合条件(3)与条件(4)的,剩下的就是全部符合题目要求的答案。

  解 满足(1)、(2)、(5)的只有如下四种情况:

  ①1+7+3+6=17(环);

  ②1+7+4+5=17(环);

  ③2+6+4+5=17(环);

  ④2+7+3+5=17(环);

  从上述四个式子中看出,①式与②式有数字1、7相同;②式与③式有数字4和5相同;②式既与①式有两个数字相同,又有另两个数字与③式相同,②式就是乙。①式和③式就是甲和丙。

  ①式和③式相同的数字是6,所以甲和丙相同的环数是6。

  例3 一场足球赛,有A、B、C、D四队参加,每两队都赛一场。按规则,胜一场得2分,平1场得一分,负一场得0分,比赛结果,B队得5分,C队得3分,A队得1分。所有场次共进了9个球。B队进球最多,共进了4个球,C队共失了3个球,D队一个球也没有进。A队和C队的比分是2∶3。

  问A队与B队的比分是多少?

  解 四个队每队都赛一场,共赛6场。每一场两队得分之和是2分,因此所有队在各场得分之和是

  2×6=12(分)。

  D队的得分是 12-5-3-1=3(分)。

  因为D队一球未进,至多与其他队打平,所以D队赛的三场,都是打平。

  现在,把已知的比赛成绩用一张表格来表示:

  每一队都赛三场,得5分一定是胜2场平1场,得1分是负2场平1场。C队以3∶2胜A队,它得3分,一定是胜、平、负各一场。

  C队与A队比赛,C队进了3球,A队进了2球,这一场共进了5个球。B队进球数是4,因此,所有场次共进9个球已够数,C队和A队在其他场都没有进球。

  B队与D队是0∶0打平,它进4个球,一定是与C队或A队比赛时进的,C队共失3球,与A队比赛失2球,因此与B队比赛失(3-2=)1(球),比分是 0∶1。B队与A队比赛进(4-1=)3(球),比分是3∶0。

  所以,A队与B队的比分是0∶3。

  例4 A、B、C、D、E五位同学一起比赛象棋,每两人都要比赛一盘。到现在为止,A已经赛4盘,B赛3盘,C赛2盘,D赛一盘。问此时E同学赛了几盘?

  分析 可以把题目所给的条件用图表示出来,用5个点表示5位同学,如果两人进行了比赛,那么用线段连接起来。

  解 根据题意,A已经赛4盘,说明了A与B、C、D、E各赛一盘,A应与B、C、D、E点相连。

  D赛1盘,是与A点相连的。

  B赛3盘,是与A、C、E点相连的。

  C赛2盘,是与A、B点相连的。

  从图上E点的连线条数可知,E同学已赛过2盘。

想 想 练 练

  1.四年级三个班参加运动会,运动会上举行跳高、跳远和百米赛跑三项比赛,各取前三名。第一名得5分,第二名得3分,第三名得1分。已知一班进入前三名的人数最少,二班进入前三名的人数是一班的2倍,而且这两个班所得总分相等,并列年级组的第一名。三班得了多少分?

  2.四个小朋友进行三项田径比赛。规定第一名得5分,第二名得3分,第3名得2分,第四名得1分。最后统计四个人的总分情况是:甲得10分,乙得12分,丙得4分,丁得7分。试求每人每项所得分数中的一种情况。

  3.德国队、意大利队和荷兰队进行一次足球比赛,每一队与另外两队各赛一场。现在知道:

  (1)意大利队总进球数是0,并且有一场打了平局;

  (2)荷兰队总进球数是1,总失球数是2,并且它恰好胜了一场。

  按规则,胜一场得2分,平一场得1分,负一场得0分。

  那么德国队得了多少分?

  4.A、B、C、D、E、F六个足球队进行比赛,每队都已赛过三场。

  (1)A队三战得6分;

  (2)B队三战都负;

  (3)C队三战皆平;

  (4)D、F两队进行过一场比赛,D队的三场比赛积分为1分。

  比赛中凡是胜一场的都得了2分,平局的都得1分,负一场的得0分。

  你知道E队的三场比赛都与哪个队进行的吗?比分如何?

  5.一场足球赛(每队赛一场)尚未结束,小马虎把已赛过的成绩列成下面表格:

  后来发现这张表中有两个数是错的,另外,还知道A已与E赛过;D已与B赛过;B没有打两场平局;进球最多的是B与E的一场比赛。

  改正错误,并把这张表填全。

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