【老师，这题为什么不可以约分？】
在第一题填空题的第8题中，题目是：一个分数，它的分子缩小2倍，分母扩大2倍后得 ,原来的分数是（ ）。许多同学知道这是一道倒过来推想的解决问题的策略与分数知识的综合运用题，得出结果是 ，再约分后是 。可是我在评卷时毫不犹豫地打了错。
有学生问：“老师，这题为什么错呢？”并振振有词地说：“你看，这题用倒过来推想的策略来解决，先把 的分母缩小2倍，再把分子扩大2倍，就得到这个分数 。你说过计算的结果不是最简分数的要约分，通常要约到最简分数为止，所以约分后是 。”
这位同学的话音一落，立即有同学反对：“老师，这题不可以约分。因为 的分子是1，缩小2倍后是0.5，分母是2，扩大2倍后是4，就得不到 ，所以 不对，应该不能约分，就填写 是对的。”
大家为这位同学在做题时的深思熟虑所折服，也为这位同学能及时进行顺着题意来检查而佩服，可是仍然还有一个同学不理解，问：“老师，你不是说过，结果要约成最简分数的么，为什么这题不可以约分？！”
是呀，这题为什么不可以约分？这句问话犹如一把重锤，敲在我们教师的头上，引起了我深深地思索：我们和学生一起学数学，做数学，是为了什么？是为了让孩子们懂得数学，去用数学，一辈子受用不尽！懂得数学，就要拥有一个数学头脑，而不做数学的机器。拥有数学头脑的人，会视条件、情况的不同采取不同的策略和方法，会借助现实的、有意义的数学材料在身边的事情中发现数学，通过身边的事情学习数学，把数学知识应用到自己的生活中去。而这道小小的填空题，居然难倒了我们身边的孩子，是固定的数学模式惹得祸，是教师嘴边的一句“结果要约分，不约分是错的。”造成了我们孩子的固定模式。在我们的数学教学中，又有多少教师注意到这种固定模式的危害性呢？在我们的数学试卷中多一些这样的试题，多一些这样的“重锤”，多敲醒一些我这样的教师吧！让我们的孩子们都拥有一个数学头脑！
【老师，半圆的周长有快速计算的方法。】
在第三题选择题的第3题中，题目是：一个半圆的直径是4米，它的周长是（ ）。题目中提供了四个选项：A.12.56米 B.6.28米 C.10.28米 D.16.56米
在做这道题时，许多同学通过计算，选择了答案C，可仍然有几个同学选择了答案A，B，D。在讲评这题时，我让选择答案C的同学说说，你为什么选择C？
甲：“半圆的周长等于同圆的周长的一半，加上直径，也就是半圆的周长=同圆周长÷2＋直径=2πr÷2＋d，算式是：3.14×4÷2＋4=10.28（米）所以选择答案C。”
乙：“老师，半圆的周长有快速计算的方法。你看，半圆的周长=2πr÷2＋d=πr＋2r=(π＋2)r=(3.14+2)r=5.14r,只要把半径和5.14相乘，就可以得到半圆的周长。算式是：5.14×（4÷2）=10.28（米）。用这种方法计算半圆的周长便于口算，既省时又准确。”
丙：“老师，乙的方法确实很快，比起甲来简便多了。但如果在计算图形的面积，在解决实际问题中，直接列成5.14×（4÷2）=10.28（米）这样的算式，改卷的老师会给我们对吗？”
是呀，改卷的老师会给我们对吗？用5.14r来计算半圆的周长，这种方法有多少老师知道呢？如果连评卷的老师也不知道这种方法的来龙去脉，那又怎么会认为这是一种好方法呢？学生的担忧不无理由！此时，我既为学生乙的合理的推理和正确的思考暗暗叫好，却也为学生丙的“多余”的顾虑而陷入深思：考试，这一指挥棒，如果落入误人子弟的人手中，会扼杀多少创新的火种！
正当我欲与丙交流时，丁却站了起来：“老师，我还有问题！”
【老师，我还有问题！】
丁：“老师，我还有问题！我认为这题的答案应该是B。”
一语激起千层浪！大家都向丁投去了惊愕的目光。丁却来到了黑板前，画了下面两幅图，问：“这两个图形中，哪个图形符合题目的要求？”
① ②
丁指着图形说：“图①是一个半圆，而图②是一个半圆和1条直径围成的封闭图形。”
“图①是一个半圆？”大家再次向丁投去了惊愕的目光。我也惊讶了，也疑惑了。可多少年来的教学经验告诉我，也许我错了；多少年来的教学机智告诉我，把球踢给学生。
师：“说说看，为什么图①是一个半圆？”
丁：“半圆半圆，就是半个圆。圆的一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆。”还美滋滋地说：“这是我爸爸告诉我的。”（哦，丁的爸爸是中学数学教师。）
我暗暗地点头，说：“有道理。”
丁：“那正确的答案就是B。”
师：“是吗？我不这么认为。”
此时的教室特别安静，真是掉到地上一枚针的声音都能听见。
师：“大家说，什么是周长？我们知道，周长是指一个封闭的平面图形一周的长度，如三角形、长方形、正方形、圆等的周长。而一条线段、弧、不封闭的曲线等只能说它的长，却不能用周长一词，说周长是用错概念。”
大家听得特别投入，对周长的概念也一致认同，可是，究竟半圆是指什么图形呢？我也不能直接给予学生正确的答案，于是又把球 给了学生：“究竟半圆是指什么图形呢？半圆有没有周长？大家有兴趣在课外进一步去探索吗？”“能。”同学们异口同声地说。
课后，我查阅了大量的资料，终于在《小学教师实用数学手册》（广东教育出版社出版）第293页中找到了半圆的概念：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆。
半圆是一条弧，那只能说半圆的长，却不能说半圆的周长。
“半圆的周长”这一说法错了。那“半圆的周长等于同圆周长的一半”和 “半圆的周长等于同圆周长的一半，加上直径”的说法也就不成立了。那为什么还有半圆周长一词呢？我仔细翻阅了教材、教学用书、课外书籍中有关半圆的题目，才明白：教材、教学用书、课外书籍中有关半圆的题目，都是联系实物，如：半圆形花坛的周长，一张半圆形的纸片，或者出示图形，加以文字说明，这样比较明确。此时我似乎明白了：之所以会有“半圆的周长”之说，恐怕是错把“半圆”当成“半圆面”，以为圆有周长和面积，同样半圆也该有周长和面积吧。
日本数学教育家米山国藏曾说过：作为知识的数学出校门不到两年可能就忘了，唯有深深铭记在头脑中的数学的精神、数学的思路、研究的方法和着眼点等，这些随时随地发生作用，使他们终身受益。
这一堂数学试卷评析课，我们师生共同经历过，也体会到――难忘！
2009-6-28
在第一题填空题的第8题中，题目是：一个分数，它的分子缩小2倍，分母扩大2倍后得 ,原来的分数是（ ）。许多同学知道这是一道倒过来推想的解决问题的策略与分数知识的综合运用题，得出结果是 ，再约分后是 。可是我在评卷时毫不犹豫地打了错。
有学生问：“老师，这题为什么错呢？”并振振有词地说：“你看，这题用倒过来推想的策略来解决，先把 的分母缩小2倍，再把分子扩大2倍，就得到这个分数 。你说过计算的结果不是最简分数的要约分，通常要约到最简分数为止，所以约分后是 。”
这位同学的话音一落，立即有同学反对：“老师，这题不可以约分。因为 的分子是1，缩小2倍后是0.5，分母是2，扩大2倍后是4，就得不到 ，所以 不对，应该不能约分，就填写 是对的。”
大家为这位同学在做题时的深思熟虑所折服，也为这位同学能及时进行顺着题意来检查而佩服，可是仍然还有一个同学不理解，问：“老师，你不是说过，结果要约成最简分数的么，为什么这题不可以约分？！”
是呀，这题为什么不可以约分？这句问话犹如一把重锤，敲在我们教师的头上，引起了我深深地思索：我们和学生一起学数学，做数学，是为了什么？是为了让孩子们懂得数学，去用数学，一辈子受用不尽！懂得数学，就要拥有一个数学头脑，而不做数学的机器。拥有数学头脑的人，会视条件、情况的不同采取不同的策略和方法，会借助现实的、有意义的数学材料在身边的事情中发现数学，通过身边的事情学习数学，把数学知识应用到自己的生活中去。而这道小小的填空题，居然难倒了我们身边的孩子，是固定的数学模式惹得祸，是教师嘴边的一句“结果要约分，不约分是错的。”造成了我们孩子的固定模式。在我们的数学教学中，又有多少教师注意到这种固定模式的危害性呢？在我们的数学试卷中多一些这样的试题，多一些这样的“重锤”，多敲醒一些我这样的教师吧！让我们的孩子们都拥有一个数学头脑！
【老师，半圆的周长有快速计算的方法。】
在第三题选择题的第3题中，题目是：一个半圆的直径是4米，它的周长是（ ）。题目中提供了四个选项：A.12.56米 B.6.28米 C.10.28米 D.16.56米
在做这道题时，许多同学通过计算，选择了答案C，可仍然有几个同学选择了答案A，B，D。在讲评这题时，我让选择答案C的同学说说，你为什么选择C？
甲：“半圆的周长等于同圆的周长的一半，加上直径，也就是半圆的周长=同圆周长÷2＋直径=2πr÷2＋d，算式是：3.14×4÷2＋4=10.28（米）所以选择答案C。”
乙：“老师，半圆的周长有快速计算的方法。你看，半圆的周长=2πr÷2＋d=πr＋2r=(π＋2)r=(3.14+2)r=5.14r,只要把半径和5.14相乘，就可以得到半圆的周长。算式是：5.14×（4÷2）=10.28（米）。用这种方法计算半圆的周长便于口算，既省时又准确。”
丙：“老师，乙的方法确实很快，比起甲来简便多了。但如果在计算图形的面积，在解决实际问题中，直接列成5.14×（4÷2）=10.28（米）这样的算式，改卷的老师会给我们对吗？”
是呀，改卷的老师会给我们对吗？用5.14r来计算半圆的周长，这种方法有多少老师知道呢？如果连评卷的老师也不知道这种方法的来龙去脉，那又怎么会认为这是一种好方法呢？学生的担忧不无理由！此时，我既为学生乙的合理的推理和正确的思考暗暗叫好，却也为学生丙的“多余”的顾虑而陷入深思：考试，这一指挥棒，如果落入误人子弟的人手中，会扼杀多少创新的火种！
正当我欲与丙交流时，丁却站了起来：“老师，我还有问题！”
【老师，我还有问题！】
丁：“老师，我还有问题！我认为这题的答案应该是B。”
一语激起千层浪！大家都向丁投去了惊愕的目光。丁却来到了黑板前，画了下面两幅图，问：“这两个图形中，哪个图形符合题目的要求？”
① ②
丁指着图形说：“图①是一个半圆，而图②是一个半圆和1条直径围成的封闭图形。”
“图①是一个半圆？”大家再次向丁投去了惊愕的目光。我也惊讶了，也疑惑了。可多少年来的教学经验告诉我，也许我错了；多少年来的教学机智告诉我，把球踢给学生。
师：“说说看，为什么图①是一个半圆？”
丁：“半圆半圆，就是半个圆。圆的一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆。”还美滋滋地说：“这是我爸爸告诉我的。”（哦，丁的爸爸是中学数学教师。）
我暗暗地点头，说：“有道理。”
丁：“那正确的答案就是B。”
师：“是吗？我不这么认为。”
此时的教室特别安静，真是掉到地上一枚针的声音都能听见。
师：“大家说，什么是周长？我们知道，周长是指一个封闭的平面图形一周的长度，如三角形、长方形、正方形、圆等的周长。而一条线段、弧、不封闭的曲线等只能说它的长，却不能用周长一词，说周长是用错概念。”
大家听得特别投入，对周长的概念也一致认同，可是，究竟半圆是指什么图形呢？我也不能直接给予学生正确的答案，于是又把球 给了学生：“究竟半圆是指什么图形呢？半圆有没有周长？大家有兴趣在课外进一步去探索吗？”“能。”同学们异口同声地说。
课后，我查阅了大量的资料，终于在《小学教师实用数学手册》（广东教育出版社出版）第293页中找到了半圆的概念：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆。
半圆是一条弧，那只能说半圆的长，却不能说半圆的周长。
“半圆的周长”这一说法错了。那“半圆的周长等于同圆周长的一半”和 “半圆的周长等于同圆周长的一半，加上直径”的说法也就不成立了。那为什么还有半圆周长一词呢？我仔细翻阅了教材、教学用书、课外书籍中有关半圆的题目，才明白：教材、教学用书、课外书籍中有关半圆的题目，都是联系实物，如：半圆形花坛的周长，一张半圆形的纸片，或者出示图形，加以文字说明，这样比较明确。此时我似乎明白了：之所以会有“半圆的周长”之说，恐怕是错把“半圆”当成“半圆面”，以为圆有周长和面积，同样半圆也该有周长和面积吧。
日本数学教育家米山国藏曾说过：作为知识的数学出校门不到两年可能就忘了，唯有深深铭记在头脑中的数学的精神、数学的思路、研究的方法和着眼点等，这些随时随地发生作用，使他们终身受益。
这一堂数学试卷评析课，我们师生共同经历过，也体会到――难忘！
2009-6-28