计算教学是小学数学教学的重要内容之一，在小学数学教材中占据着很大的比例。随着数学课程标准的全面实施，计算教学的内容无论是在量上，还是在难度上都做出了重大调整，删除了一些繁、难、怪、偏的内容，增加了一些与实际生活联系紧密的素材，因而，现行教材中计算教学看上去即简单又容易。正因为如此，很多老师都不愿意在计算教学上花更多时间钻研教材，造成当前计算课教学重算法轻算理，重模式轻能力的现象。

怎样在计算教学中，从现实意义的情境中挖掘其中隐含的数学价值，发展学生的数学思维能力。下面结合三位老师对“有余数除法”中“余数一定要比除数小”的片断处理，谈谈自己的一点思考。

【A老师的片断】：

……

师：15个气球，至少平均2个扎一束，可以怎样扎？

生1：5个一束。

生2：3个一束。

师：请同学们用手中的小棒扎一扎。

学生以小组为单位开展活动，教师适时加以指导。几分钟后，找学生汇报活动的成果。教师出示一张设计好的图表，学生说，老师写。

师：大家看，剩余的根数大致上有几种情况？

生：三种

生：1、0、3

师：如果老师把15改成16结果会怎么样？

生：余数还有2。

师：从剩下数可以看出来，有的时候有的，有的时候没有。

师：现在来看看，这些3、3、1、1是什么，你给它取个名字

生：余数，

师：余数就是剩下的不能再分了。能够分的除外，剩下不能再分的就叫余数。

师：余数为什么不能再分了？

生：剩余的分不了了。

接着老师用了不少时间带领学生学习笔算竖式的写法。

……

师：找一找每个算式的余数与除数，再比较一下，你发现什么？

生1：余数要比除数小。

师：余数一定要比除数小。

……

【分析】：

教师试图通过学具操作感悟――小组活动交流――图表的记录表述――师生的研讨交流，逐步引导学生认识到有余数除法中除数一定要比除数小，从中可以看出教师能从学生的角度来解读教材，重组教材。然而，由于对教材难点的处理缺乏有效的突破手段，整个教学流程突出强化了笔算竖式的写法，淡化了有余数除法中余数的本质意义，造成学生对余数一定要比除数小，只知其然而不知其所以然。

同时，由于没能充分挖掘学生汇报而成的图表对他们思维有序引领作用，造成学生对余数与除数关系的认识更多来自于教师的强化，而不是自我的发现与归纳，自然学生的学习效果就打了折扣了。

【B老师的片断】：

……

师：8朵花，每4朵为一份，可以分成这样的几份？（在黑板上画图示）谁能告诉我算式怎么写？

生1：8÷4＝2

（学生说后教师及时板书算式）

师：如果是9朵呢？每4朵1份，结果会怎么样？用什么方法计算呀？

生2：用除法，9÷4＝

师：答案是几呢？同学用自己喜欢的方式在草稿纸上画一画。

师：画好了吗？

生：画好了。

生3：生上画板画，

师：分完了吗？

生：没有，还多一朵？

师：你会写出答案吗？

生3：9÷4＝2（份）……1（朵）

（学生边说教师板书算式）

师：怎么读呢？读作9除以4等于2，余1朵。

师：如果是10朵，11朵呢？你会分吗？先在草稿纸上画一画，再写出答案来。

（学生根据以上的方式很快展开了活动）

师：谁能汇报一下你做的。

生4：10÷4＝2（份）……2（朵）

生5：11÷4＝2（份）……3（朵）

师：比较一下，你有什么发现？

生6：后面都是除多少。

生7：后面的余数都不同。

师：这就是我们今天学习的“有余数的除法”（板书）

师：如果有12朵呢？每4朵一份。

生：3份。

师：如果我有13朵花？

生：3份，余1朵。

师：如果14朵、15朵呢？

生：3份余2，3份余3。

师：如果有一堆花，还是每4朵一份，可以分成几份，余几？

（    ）÷4＝（    ）……（   ）

生8：余8朵。

师：行吗？

生：不行，8朵还可以分的。

师：那余7朵行吗？5朵行吗？

生：都不行，只有3朵行。因为4比3大。

师：那大家发现没有，余数与什么有关呀？

生：与除数有关。

师：如果除数是5的话，余数可能是几？

生：1、2、3、4

师：为什么不能是其他数呀

生：余数要比除数下，大了又可以分了。

师：看来有余数的除法中，余数一定要比除数小

（此时，黑板上的板书）

被除数      除数        商      余数

8÷4＝2（份）

9÷4＝2（份）……1（朵）

10÷4＝2（份）……2（朵）

11÷4＝2（份）……3（朵）

12÷4＝3（份）

13÷4＝3（份）……1（朵）

14÷4＝3（份）……2（朵）

15÷4＝3（份）……3（朵）

【分析】：

老师在突破有余数除法教学难点――“余数一定要比除数小”，处理的很巧妙。她通过画图感知――算式归纳――解释说明的方式，引导学生思维方式从图示表述，逐步向数学思考发展。再通过黑板有序生成的算式板书，间接地帮助学生认识到余数一定要比除数小。

同时，教师在数据的设计上也很独特，为了突出除数与余数的关系，提供的数据中除数是不变的，随着被除数的变化，余数随之发生相应的变化，从中帮助学生建立起正确的“余数一定要比除数小”的思维模型。

【C老师的片断】：

……

师：出示10根小棒，谁能上黑板上分一分。

生1： 

师：这位同学是不是平均分？能不能用算式表示。

生：不是，是。

师：不是吗？每个人分得一样多就是平均分，是不是呀？

生：是。

生2：平均分就可以用除法。

师：这道题可不可以用除法呢？

生：可以。

生3：10-1＝9   9÷3＝3（根）

师：老师给你几根呀？

生：10根。

师：那怎么分呀。

生4：10÷3＝3（根）……1（根）

师：大家照上面样子，在草稿本上写一道除法竖式。（接着学生活动，教师指导）

生：（生说师写） 

师：（带领学生一步一步地理解除法竖式表示的意义。）

……

师：是不是每次都余1呀。

生5：不是，我们是11根，每人3根，多2根。

师：能不能想出一道乘法算式来。

生6：（生说）11÷3＝3（根）……2（根）

师：有多出1根的，有多出2根的，有没有余数是3的？

生：不会。

师：为什么呀？小组内讨论一下。

师：会不会多出3根？

生：不会。如果有3根又可以分了。

师：谁能上黑板来分一分。这一共是几根。

（重复说明10根小棒分的过程）

师：老师再给你1根，现在能分了吗？

生：不能。

师：你看老师再给你1根？现在可以分了吗？

生：可以了。

师：看看，每个人又分得1根。

（老师一直不断给学生小棒，让其说能不能分）

师：这是什么数呀，一遇到它就分掉了。

师：余数与除数3之间有什么关系？

师：余数不能比除数大，一定要小于除数。

……

【分析】：

教师试图引导学生通过一组操作活动，取得两个收获，一是初步掌握有余数除法的竖式计算方法；二是明确有数数除法中余数为什么一定要比除数小的算理。由于这两个方面的内容对学生来说都是陌生的，教学时，教师前大半节课时间在强调竖式的写法与意义，结束前又试图通过一组添加小棒的活动，启发学生认识余数与除数的关系。

然而，从课堂反馈的效果来看，学生对除法竖式的掌握和有余数除法算理的理解都不是很透彻。仔细思考，发现问题不是出在教师教学设计上，而是没有及时抓住学生在课堂上生成的学习资源，没有把学生回答的内容有序地固化在黑板上，学生在思考时失去了凭借物，自然很难对一个新的知识形成明晰的认知。

【思考与建议】

现在的计算课教学往往走向两个极端，要么就是直接告诉学生怎么算，忽视了算理的理解与把握；要么就是一味追求算法多样化，忽视了算法的优化与提升。如何提高计算课教学的有效性，提升计算教中的数学思维的含量，挖掘其中的数学价值呢？

一、在突破难点上找准“切入点”

教学难点顾名思义就是每节课中最硬的那根“骨头”，怎样啃下这根硬“骨头”，回避或蛮力都不能解决问题，唯一的办法就是找准难点这根“骨头”的切入点，沿着切入口顺势而行，步步递进，突破难点自然就水到渠成。

三位老师中，B老师在突破“余数一定要比除数小”这一难点时，切入点找得准。教学中，她通过设计除数不变，被除数逐渐递增而引起余数递增一组算式。

8÷4＝2（份）

9÷4＝2（份）……1（朵）

10÷4＝2（份）……2（朵）

11÷4＝2（份）……3（朵）

12÷4＝3（份）

13÷4＝3（份）……1（朵）

14÷4＝3（份）……2（朵）

15÷4＝3（份）……3（朵）

引导学生发现其中余数的变化规律，即只有小于除数的情况下才有余数，从而，让学生真正理解为什么余数一定要比除数小的算理本质。在这一难点突破的过程中，教师没有告诉学生，而是引导学生通过观察、比较、分析、归纳后逐步总结出来的。这样的结论不仅具有广泛的感性基础，更拥有鲜活的经验背景。突破难点的过程自然也就成了学生思维发展的触发点。

二、在理解算理上找准“着眼点”

“余数一定要比除数小”是有余数除法的算理核心所在。三位老师教学中都能把理解算理的着眼点放在“余数”与“除数”的比较上，只是每个人对理解有余数除法算理这一着眼点的处理方式不同，从而，产生了不同的教学效果。

A老师强调了总数的稳定，弱化了除数的统一，这样一来，不断变化的除数与余数很难让学生把考虑问题的着眼点集中这两者之上，这时，再谈对有余数除法中“余数一定要比除数小”算理的理解，效果自然大打折扣了。

B老师在理解算理的过程中，用不变的“除数”与变化的“余数”进行一系列的比较，引导学生自始至终都把思考问题的着眼点放在“除数”与“余数”之上，在观察两者变化规律之中理解算理，掌握算理。

C老师在教学中，也把理解算理的着眼点放在用不变的“除数”与变化的“余数”进行比较，但效果却不是很好，其原因是学生探讨过的算式教师没有有序地加以整理，学生思考时缺乏具体的比较对象，从而造成部分学生清楚，部分学生含糊的局面。

因而，计算教学中我们应找准理解算理的着眼点，这样学生才能抓住理解算理的根本，确保对算理的理解有路径，有方法，有层次。

三、在形成算法上找准“关键点”

算法，简单地说就是计算的方法。案例中有余数除法的计算方法是由两部分组成的，即整除的算法+余数，整除的计算方法学生早已掌握，没必要强调。有余数除法算法中需要强调的是“余数”，余数如何处理就成了形成正确有余数除法的“关键点”。

三位老师引导学生形成有余数除法算法的过程中，都找到了余数这一“关键点”。并通过操作、观察、比较等形式来突破它。如：A老师通过扎气球的形式，引导学生发现余数；B老师通过分花朵的形式，让学生发现余数；C老师则通过摆小棒的形式，认识余数。活动中，学生即运用了整除中的计算方法，又不完全等同于整除，从而，让学生认识到，有余数除法的算法是整除算法的拓展与延伸。

从以上的案例不难发现，任何一种算法的形成它都有其来源，但它又不是某一种算法的重复，它是在原有算法基础上的拓展与延伸的结果。为此，教师在引导学生形成新算法过程中，即要明确新算法的来源，更要找准形成新算法的关键点。

四、在思维活动上找准“兴奋点”

计算教学过程中，由于受教学内容的影响，课堂一般都比较平淡。怎样在平淡的课堂中激发学生的思维活动呢？这就需要教师在钻研教材的过程中，摸准学生的学习心理，找到可以引起学生思维活跃的“兴奋点”。

以上三个案例中，学生思维发展的“兴奋点”在哪儿呢？仔细观察，你会发现，当学生发现余数一个一个增加到与除数一样多时，又可以除了，没有余数了；而后随着数据增加，又出现余数了，当与除数一样多时，又没有余数了……，如此循环不断重复出现当为触发学生思维发展的“兴奋点”。教师一旦把握准了课中的“兴奋点”，顺势引导，学生的思维必然会得到激发，思维的火花必然会出现，理解“余数一定会比除数小”算理也就在情理之中了。

为此，我们在教学过程中，要通过不同层次的活动，激发起学生思维发展的“兴奋点”，在此基础上他们才能真正理解算理，确立算法，形成系统的计算能力。

作者简介：齐胜利，男，本科学历，中学高级教师，安徽省特级教师，现为安徽省黄山市黄山区教研室小学数学教研员。工作以来，先后获得黄山市“名教师”、黄山市“学科带头人”、黄山市“教学新秀”，连续两届黄山区 “拔尖人才”等称号。