德国小学数学教育的一些特点

l        基本的数学能力

在学龄前就着手培养数学的一些基本能力，主要有特征的确定、比较与区别；对应；按规则进行代换和变换；分类与综合；排列。在教学中是通过学具通过来帮助达到上述要求的。这个学具也被称为逻辑块。逻辑块是24块具有下列特征的彩色塑料积木：形状上有圆形、正方形、三角形三种；颜色上有红、黄、绿、蓝四种；大小上有大型、小型两种。

l        数概念的形成

数的概念的形成是在形式丰富的生活情境中，通过数作为基数、序数、量数、算子数与运算结果的教学来达到的。

基数：描述一个集合中元素的个数，即数目。例如：筐子里一共有7个梨，桌子上有5只面包。

序数：按照自然数的顺序来表示次序。例如：向上第五个抽屉，汽车赛中红色的车位于第三。

量数：自然数作为度量衡的结果，如5米、5千米、3时、2千克。

又加了7个球：2――→9。

一个数是运算的结果：例如，桌子上原来有两本本子，父亲又放了三本，这样就出现了一个新数：2＋3＝5。

这样数概念教学的结构就成为了一个综合性的过程。

二、三年级重点在位值概念的建立上。三、四年级中利用迪尼斯积木块来认识大数，强调大数的表达、排列、计算、凑整能力。

l        关于计算教学

低年级进行简单计算，常常在数射线（原点为零的射线，用以表示正数）上借用邻数或邻近的数来进行加减法。

低年级还进行机械计算，例如借助于手指很自然地得出结果又如利用有意识的背诵方式算出结果。

通过联想来计算，碰到不熟悉的计算时回到基本题上去，例如：40＋30＝？回想4＋3＝7，所以40＋30＝70。

低年级还利用计算器进行计算。使用计算器不易发展学生的思维，但可以省时、省力、又经济，它是为大众所喜欢的最重要的技术之一，在课堂教学中同样也不可缺少。在教学中注意让学生从原则上了解其计算结构与过程。

二年级开始引入进、退位的加减法运算。

乘法引入是通过连加来进行的。

乘法口诀不是按自然数的排列一下子引入的，而是用倍数数列的形式，先易后难，从10的倍数开始，然后是5的倍数，再是2的倍数、4的倍数、8的倍数、再研究2、4、8的倍数间的关系。到了三年级才学习3的倍数、6的倍数、9的倍数、再是3、6、9的倍数间的关系；最后是7的倍数（7的倍数最难），前后跨两年。强调通过倍数来教学乘法口诀，通过奇数、偶数分开来教学，有利于学生真正理解，而不是用一训僵死的死记硬背的方法来让学生学习乘法口诀。同时，也减少了德国儿童因德语中数词表达而带来的困难（德语两位数读法往往是低位到高位，例如：31不是读成三十一，而是读成一与三十）。

笔算从三年级开始，先是加减法，四年级是乘除法；先利用位值表进行，熟练后再去掉位值表。

在进行计算教学的同时，十分注意估算与凑整。往往先要求学生估算，然后再算出实际结果。凑整时强调按实际生活中的要求进行去一或进一。

德国小学计算教学主要目标反映出其特点为：

⑴重视计算过程的理解和通过有规律的学习、复习来达到巩固掌握。对于机械性计算（四则运算）的要求只到三位数，以达到对进、退位的理解，没有多位数繁杂的计算。

⑵重视估算、巧算。

⑶多种多样的练习形式保持学生的学习兴趣和培养计算思维的灵活性。

⑷计算教学的重要目的之一是为解决应用题而服务。同时强调，通过量与应用题的计算来检验是否达到了小学数学教学的目的之一――在四则运算中量和数进行熟练准确的计算。

l        几何教学

小学实施的是经验几何，将几何教学建立在经验上，使学生了解他们的周围环境。他们以为人们生活在一个几何的、平面的、立体的、建筑学的、艺术的和技术的环境里，因此要让学生了解日常生活中几何体之间的联系和其规律性。也就是说，小学的几何教学应该是经验几何的教学，对象都是取之于生活实际中的具有一定几何形状的实物，通过与这些实物的交往获得几何的基本经验。例如：轮胎是圆的，这什么要这样？皮球是什么形状的，为什么要这样？如果要穿马路，怎样最近？为什么在大量工地上要有许多吊车？它们放在哪里最合适？

德国小学的几何课是为以后各类学校的几何教学打基础的，一般来说，它对以后的几何学习起着重要作用，当然也有其本身的意义，几何的一些基本概念，如平面、空间、垂直、平行等等，是极其重要的；但是小学几何教学的主要目的不单是为了解释这些概念，更重要的是使学生有兴趣，自觉地解释几何问题，也就是使学生以后具有解释几何问题的能力。他们反对在小学进行纯几何知识的教学，认为这是危险的，强调小学几何学习对儿童来说只是一种准备。

在教学方法上，他们的特点是努力使学生产生兴趣、促使学生动手，使学生积累出几何的基本经验。这在教学建议一栏中是十分明显的。例如：“用各种材料制、剪和拼做六面体”。“有纸、厚纸板、粘胶做各种立体”。“通过学生与

对象都是取之于生活实际中的具有一定几何形状的实物，通过与这些实物的交往来获得几何的基本经验。例如：轮胎是圆的，为什么要这样？皮球是什么形状的？为什么要这样？如果要穿马路，怎样走最近？为什么在大工地上要有许多吊车？它们放在哪儿最合适？

几何的一些基本概念，如平面、空间、垂直、平行等等，是极其重要的；但是小学几何教学的主要目的不单是为了解释这些概念，更重要的是要使学生有兴趣，自觉地解释几何问题，也就是使学生以后具有解释几何问题的能力。他们反对在小学进行纯几何知识的教学，认为这是危险的，强调小学几何学习对儿童来说只是一种准备。

在教学方法上，他们的特点是努力使学生产生兴趣，促使学生动手，使学生积累出几何的基本经验。这在教学建议一栏中是十分明显的。例如：“用各种材料捏制、剪、和拼做六面体”“用纸、厚纸板、粘胶做各种立体”。“通过学生与球形、圆柱形、圆锥实物（如巧克力球、皮球、罐头、圆锥形糖等等）的交往，得出下列经验来认识球、圆柱、圆锥。球，可以朝任何方向滚动。圆柱，只能朝某一个方向滚动。圆锥，只能在一个圆内滚动。”

l        应用题教学

从60年代开始的数学改革到到今天的数学教学，应用题教学的地位在德国经历了一场戏剧性的变化。1970―1976年由于皮亚杰理论的影响，机械性计算技能与应用题的地位迅速下降，处于从属地位，而对计算方法的理解处于非常主要的地位，这种一阶段人们称之谓“小学数学教学起了根本的变化”。1976年开始由于家长的愤怒与教学实践中产生的实际情况，迫使数学教学进行新的权衡，天平又回复了，促进思维与计算技能被看得同等重要，应用题也又显得重要了，因为人们认为经过改革后的应用题教学既能锻炼理解数学结构的能力，又能锻炼计算技能。

经过近几年来的讨论，他们认为应用题教学的目的是：

⑴培养孩子们从周围客观环境事物中抽象出数学结构关系的能力。

⑵培养孩子们计算技能，并使孩子们能正确地运算四则运算来解决问题。

⑶应用题中涉及的具体知识可以深化学生对某一专门领域的了解，使专业知识得到发展。

⑷通过解题可以训练学生的思维，更重要的是还可以培养学生的创造性思维，达到提高学生解决问题和创造性解决问题的能力。

改革后的应用题教学强调所选的应用题内容应该取自于孩子们周围环境中的实际问题。他们认为：在小学里，孩子们学习如何通过数的帮助来了解周围世界的真相是一个很重要的方面，所以培养孩子们运用数学方法来掌握某一周围世界情况的能力是至关重要的。在现实生活中，在对某一问题考虑一个可能的解决方法之前，很少会有一切必不可少的事项、数据、陈述、关系都已在手头齐全了，它们首先必须被收集、挑选、整理、比较。而在传统的数学课里，这些必不可少的数据、信息大多是以文字或图来给出的，所以也有人说，这些应用题相对于大家所重视的真正实际问题的解决来说只是一些“冒牌应用题”。作为改进，他们应用题的设计作了带有方向性的改革：

⑴应用题的设计上留出让学生自己补充、收集信息的余地，使学生能够自己收集有关的信息并进行选择。

例如：20马克可以买多少斤桔子？

这种题按传统观点是无法解的，是信息、数据不全的题。现在学生要完成这个题必须首先到学校或家附近的商店或超级市场去收集桔子的价格信息，然后挑选最便宜的价格和最贵的价格，再算出可买桔子的斤数范围。也可以根据收集到的某一价格，算出斤数。总之，要有收集信息、数据这一重在的过程。

⑵应用题不设问，只叙述或呈现信息，让孩子们自己提出计算性的设问。

例如：玛丽亚在奶糖酪摊上帮助她的姑姑。上星期她帮了20小时，得到工资140马克。这个星期她帮了25时。

老师可以从学生设的问中看出学生对信息理解与处理的能力，因为这一类题都可以设不止一个的问。

⑶为了培养创造能力，设计问题时要考虑到让学生从不同的角度出发进行发散思维，探求不同的答案。

例如：出示一幅图，图中货架上有5马克和8马克两种杯子。售货员将纸包好的后的一包杯子交给女孩苏茜，说：“40马克。”

这一类题都不止一个答案，要鼓励学生去寻求不同的答案，越多越好。如：①买5马克的杯子；②买8马克的杯子；③两种杯子都买（通过尝试或制表格来寻求答案）。

        （摘自陈昌平主编《数学教育比较与研究》1995年版）